Bevor Newton die Gravitation formulierte,
beschrieb ein deutscher Mathematiker
die Bewegung der Himmel —
nur mit Geometrie und Geduld.
Drei Gesetze, die das Universum lesbar machten. Kepler fand sie in den Daten von Tycho Brahe — Jahre bevor jemand wusste, warum sie gelten. Auf dieser Seite lernst du nicht nur die Formeln, sondern verstehst, was sie wirklich bewirken. Alles interaktiv, alles auf Gymnasialniveau.
Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
Vor Kepler dachte man: Himmelskörper sind göttlich, also müssen ihre Bahnen perfekte Kreise sein. Kepler zeigte: Das stimmt nicht. Planetenbahnen sind Ellipsen — leicht gedehnte Kreise mit zwei besonderen Punkten, den Brennpunkten.
In einem der beiden Brennpunkte sitzt die Sonne. Der andere Brennpunkt ist leer. Das klingt banal, war aber revolutionär: Es bedeutet, dass ein Planet der Sonne mal näher, mal weiter weg ist.
Perihel — der sonnennächste Punkt der Bahn.
Aphel — der sonnenfernste Punkt.
Wie stark eine Ellipse von einem Kreis abweicht, beschreibt die numerische Exzentrizität e. Bei e = 0 ist die Bahn ein perfekter Kreis. Je näher e an 1 rückt, desto langgestreckter wird die Ellipse.
Die Exzentrizität e sagt dir sofort, wie kreisförmig eine Bahn ist. Erde: e ≈ 0,017 — praktisch ein Kreis. Merkur: e ≈ 0,206 — deutlich elliptisch. Halleyscher Komet: e ≈ 0,967 — extrem langgestreckt.
Die grosse Halbachse a ist der mittlere Abstand zur Sonne. Sie ist die wichtigste Grösse eines Planeten — sie bestimmt auch seine Umlaufzeit (siehe 3. Gesetz).
Die Verbindungslinie Sonne–Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleich grosse Flächen.
Stell dir eine gedachte Linie zwischen Sonne und Planet vor — den sogenannten Fahrstrahl. Während der Planet fliegt, fegt dieser Fahrstrahl eine Fläche aus.
Kepler entdeckte: In gleichen Zeitintervallen — egal wo auf der Bahn — ist diese Fläche immer gleich gross. Ein Monat im Perihel überstreicht genauso viel Fläche wie ein Monat im Aphel.
Weil die Ellipse im Perihel schmal und lang ist, muss der Planet dort schneller fliegen, um in der gleichen Zeit die gleiche Fläche zu überstreichen. Im Aphel ist die Ellipse breit und kurz — der Planet kann langsamer werden.
Sie verbietet konstante Geschwindigkeit. Ein Planet auf einer elliptischen Bahn muss sich wechselnd schnell bewegen. Die Erde ist im Januar im Perihel und fliegt dann mit ≈ 30,29 km/s. Im Juli im Aphel sind es nur ≈ 29,29 km/s — ein ganzer Kilometer pro Sekunde Unterschied.
Faustregel: Nah an der Sonne = schnell. Fern von der Sonne = langsam.
Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die Kuben der grossen Halbachsen.
Das erste Gesetz beschreibt die Form einer Bahn. Das zweite beschreibt das Tempo entlang dieser Bahn. Das dritte verknüpft zum ersten Mal verschiedene Planeten miteinander: Es zeigt, wie Bahngrösse und Umlaufzeit zusammenhängen.
Wenn ein Planet doppelt so weit von der Sonne entfernt ist wie ein anderer, braucht er nicht doppelt, sondern etwa 2,83-mal so lange für einen Umlauf. Warum? Weil T² ∝ a³.
Misst man a in Astronomischen Einheiten (1 AE = Erdbahnradius) und T in Jahren, dann ist die Konstante für unser Sonnensystem genau 1. Das macht Rechnungen elegant:
T² = a³
Beispiel Jupiter: a ≈ 5,20 AE. Dann T² = 5,20³ ≈ 140,6. Also T ≈ √140,6 ≈ 11,86 Jahre. Richtig.
Die beste Art, das Gesetz zu verstehen: Rechne T²/a³ für jeden Planeten aus. Das Ergebnis ist immer ≈ 1. Probiere es selbst mit dem Rechner rechts.
| Planet | a (AE) | T (Jahre) | T² / a³ |
|---|---|---|---|
| Merkur | 0.387 | 0.241 | 1.002 |
| Venus | 0.723 | 0.615 | 1.001 |
| Erde | 1.000 | 1.000 | 1.000 |
| Mars | 1.524 | 1.881 | 0.999 |
| Jupiter | 5.203 | 11.862 | 0.999 |
| Saturn | 9.537 | 29.457 | 1.000 |
| Uranus | 19.191 | 84.011 | 0.999 |
| Neptun | 30.069 | 164.79 | 0.999 |
Was du dir merken solltest — und nie wieder vergisst.
Planetenbahnen sind Ellipsen. Die Sonne sitzt in einem der beiden Brennpunkte. Die Exzentrizität e sagt, wie stark gedehnt die Ellipse ist.
Der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich grosse Flächen. Nah an der Sonne schnell, fern von der Sonne langsam.
Grössere Bahnen brauchen überproportional länger: Das Verhältnis T²/a³ ist für alle Planeten eines Zentralsterns gleich.
Fünf Fragen, die zeigen, ob du es wirklich verstanden hast.